Qualité des eaux de baignade

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

D’après les résultats de la recherche, on considère qu’en France \(93\; \%\) des sites de baignade ont une eau de bonne qualité. Pour chaque site, on désigne par \(\text{E}\) l’événement : « l'eau est de bonne qualité ».
Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Dans une commune du littoral, il y a trois sites de baignade répertoriés. La qualité de l’eau dans chacun de ces trois sites est considérée indépendante de celle des autres sites. Sans faire procéder à des analyses, le maire voudrait connaître la probabilité que l’eau soit de bonne qualité dans sa commune.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.

1. À l’aide d’un arbre de probabilités, calculer la probabilité que les trois sites aient une eau de bonne qualité.
2. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un site dont l'eau ne soit pas de bonne qualité ?

Partie B

On considère maintenant une région du littoral dans laquelle on dénombre \(48\) sites de baignade dont \(6{,}25\; \%\) ont une eau de mauvaise qualité. On sait que seulement une faible proportion des baigneurs vérifie que l’eau est de bonne qualité, mais qu’en revanche ils préfèrent les plages de sable aux plages de galets. Dans cette région, il y a \(25\) sites de baignade où la plage est de sable dont \(8\; \%\) ont une eau de mauvaise qualité.
Dans cette partie, les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.

1. Compléter le tableau croisé d’effectifs ci-dessous.

2. Quelle est la probabilité pour qu’une personne qui va sur une plage de galets se baigne dans une eau de bonne qualité ?
3. Si on choisit au hasard une plage de cette région, a-t-on plus d’une chance sur deux qu’elle soit avec du sable et une eau de bonne qualité ? Justifier la réponse.

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